ADAPTATION OF THE FINITE ELEMENT METHOD FOR THE STIELTJES STRING DEFORMATION PROBLEM WITH A NONLINEAR CONDITION

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study a problem modeling small deformations of a string with features localized in an arbitrary number of points (but not more than a countable number) in the form of elastic supports and concentrated forces. It is assumed that the left end of the string is rigidly fixed and the right end is inside a vertical displacement limiter. Depending on the applied external force, the right end will either remain free or reach the boundary of the limiter. This generates a nonlinear condition at the corresponding point, since the behavior of the solution is not known in advance. The problem under study is described in the form of a variational inequality; the existence and uniqueness theorems of the solution are proved; an algorithm for finding an approximate solution is developed by adapting the finite element method; and an estimate of the deviation of the exact solution from the approximate solution is obtained.

About the authors

M. B Zvereva

Voronezh State University

Email: margz@rambler.ru
Voronezh, Russia

M. I Kamenskii

Voronezh State Pedagogical University; Voronezh State University

Email: mikhailkamensk@mail.ru
Voronezh, Russia

S. A Shabrov

Voronezh State University

Email: shaspotcha@mail.ru
Voronezh, Russia

References

  1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прадиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004.
  2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи: пер. с англ. М.: Мир, 1968.
  3. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Докл. АН. 1999. Т. 364. № 2. С. 167–169.
  4. Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля // Докл. АН. 2002. Т. 383. № 5. С. 262–265.
  5. Кулаев Р.Ч. К вопросу об осцилляционности функции Грина разрывной краевой задачи четвертого порядка // Матем. заметки. 2016. Т. 100. № 3. С. 375–387.
  6. Tverdy M. Differential and integral equations in the space of regulated functions // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. 2002. V. 25. P. 1–104.
  7. Ammecapes A.H., Калягин В.А. Спектральная задача для векторной струны Стилтьеса // УМН. 2022. Т. 77. № 5 (467). С. 187–188.
  8. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. Осцилляционная теория Штурма–Лиувилля для импульсных задач // УМН. 2008. Т. 63. № 1 (379). С. 111–154.
  9. Baev A.D., Chechin D.A., Zvereva M.B., Shabrov S.A. Stieltjes differential in impulse nonlinear problems // Doklady Math. 2020. V. 101. № 1. P. 5–8.
  10. Kamenskii M., Wen Ch.-F., Zvereva M. On a variational problem for a model of a Stieltjes string with a backlash at the end // Optimization. 2020. V. 69. № 9. P. 1935–1959.
  11. Shabrov S.A., Ilina O.M., Shaina E.A., Chechin D.A. On the growth speed of own values for the fourth order spectral problem with Radon – Nikodim derivatives // J. of Physics: Conference Series. Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems. 2020. № 012044.
  12. Raynaud de Fitte P., Kamenskii M., Wong N.-Ch., Zvereva M. A model of deformations of a discontinuous Stieltjes string with a nonlinear boundary condition // J. of Nonlinear and Variational Analysis. 2021. Vol. 5. № 5. P. 737–759.
  13. Zvereva M., Wen Ch.-F., Kamenskii M., Raynaud de Fitte P. A model of deformations of a beam with nonlinear boundary conditions // J. of Nonlinear and Variational Analysis. 2022. Vol. 6. № 3. P. 279–298.
  14. Zvereva M., Kamenskii M., Raynaud de Fitte P., Wen Ch.-F. The deformations problem for the Stieltjes strings system with a nonlinear condition // J. of Nonlinear and Variational Analysis. 2023. Vol. 7. № 2. P. 291–308.
  15. Zvereva M. The problem of deformations of a singular string with a nonlinear boundary condition // Lobachevski Journal of Mathematics. 2024. Vol. 45. № 1. P. 555–568.
  16. Шабров С.А. Математическое моделирование и качественные методы анализа граничных задач с производными по мере. Дис. …докт. физ.-матем. наук. Воронеж, ВГУ, 2016.
  17. Бахишна Ж.И., Залукаева Ж.О., Зверева М.Б., Шабров С.А. Об адаптации метода конечных элементов для модели колебаний струны с разрывными решениями // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2018. № 2. С. 106–117.
  18. Шабров С.А., Липников Д.А., Найолок Ф.О. Решение задачи малых деформаций на геометрической сети методом конечных элементов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2023. № 2. С. 110–122.
  19. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: пер. с англ. М.: Мир, 1977.
  20. Гловинская Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств : пер. с англ. М.: Мир, 1979.
  21. Максимова Н.Н., Гладышев Р.А. Численное исследование вариационной задачи с препятствием с применением метода конечных элементов // Вестник АМГУ. 2014. № 67. С. 25–32.
  22. Repin S. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comp. 2000. V. 69. № 230. P. 481–500.
  23. Апушкинская Д. Е., Репин С. И. Бигармоническая задача с препятствием: гарантированные и вычисляемые оценки ошибок для приближенных решений // Ж. вычисли. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 11. С. 1881–1897.
  24. Репин С. И. Апостериорные тождества для мер отклонений от точных решений нелинейных краевых задач // Ж. вычисли. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 6. С. 896–919.
  25. Зверева М.Б., Мясникова М.П. Программа для математического моделирования деформаций стильсовской струны с ограничителем. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2023610298 от 10.01.2023. Заявка № 2022668339 от 03.10.2022.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences