ASYMPTOTICS OF LONG WAVES GENERATED BY TIME-HARMONIC SPATIALLY LOCALIZED SOURCES IN BASINS WITH GENTLY SLOPING SHORES

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For a nonlinear and linearized system of shallow water equations in a basin with an uneven bottom and gently sloping shores, the problem of short-wavelength asymptotic solutions describing waves excited by a time-harmonic spatially localized source is considered. In the linear approximation, such asymptotic solutions are essentially expressed via solutions of the Helmholtz equation, and the problem of constructing them is close to the problem of the asymptotics of the Green’s function. We use a recently developed approach based on the Maslov canonical operator and allowing one to find a global asymptotic solution of the linearized problem in any predetermined region, taking into account caustics and focal points, as well as Fermat’s variational principle, which, in combination with the canonical operator, makes it possible to construct such an asymptotic solution locally, i.e., in the neighborhood of a given observation point. The linearized problem is considered in a fixed domain, which is bounded by a shoreline corresponding to the fluid at rest. On this line, the equations degen- erate; accordingly, a correct statement of the problem does not require (and does not admit) classical boundary conditions; instead, the condition of finiteness of the energy integral is used. From the view- point of asymptotic theory, the shoreline is a nonstandard caustic, in the neighborhood of which the asymptotic solution of the linearized problem is expressed via a modified canonical operator. For the original nonlinear system, a free-boundary problem is considered: the position of the shoreline depends on the elevation of the free surface. According to a recently developed approach based on the modified Carrier–Greenspan transform, the asymptotic solution of the nonlinear system is expressed via the solution of the linearized system in the form of parametrically specified functions. The resulting formulas, in particular, describe the effects of wave inrush on the shore.

About the authors

S. Yu. Dobrokhotov

A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: s.dobrokhotov@gmail.com
Moscow, Russian Federation

V. E. Nazaikinskii

A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: nazaikinskii@yandex.ru
Moscow, Russian Federation

I. A. Nosikov

Pushkov Institute of Terrestrial Magnetism, Ionosphere and Radio Wave Propagation, Russian Academy of Sciences

Email: igor.nosikov@gmail.com
Kaliningrad, Russian Federation

A. A. Tolchennikov

A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: tolchennikovaa@gmail.com
Moscow, Russian Federation

References

  1. Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике функции Грина для уравнения Гельмгольца // Матем. сб. 1964. Т. 65(107).№4. С. 576—630.
  2. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.
  3. Кучеренко В.В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника для стационарного уравнения Шредингера // ТМФ. 1969. Т. 1.№3. С. 384—406.
  4. Вайнберг Б.Р.О коротковолновой асимптотике решений стационарных задач асимптотике при t →∞решений нестационарных задач // УМН. 1975. Т. 30.№2(182). С. 3—55.
  5. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Руло М. Канонический оператор Маслова на паре лагранжевых многообразий и асимптотика решений стационарных уравнений с локализованными правыми частями // Докл. АН. 2017. Т. 475.№6. С. 624—628.
  6. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Руло М. Лагранжевы многообразия и конструкция асимптотик для (псевдо)дифференциальных уравнений с локализованными правыми частями // Теор. и матем. физ. 2023. Т. 214. С. 3—29.
  7. Nosikov I.A., Klimenko M.V., Zhbankov G.A., Podlesnyi A.V., Ivanova V.A., Bessarab P.F. Generalized force approach to point-to-point ionospheric ray tracing and systematic identification of high and low rays // IEEE T Antenn. Propag. 2020. V. 68.№1. P. 455—467.
  8. Доброхотов С.Ю., Клименко М.В., Носиков И.А., Толченников А.А. Вариационный метод расчета лучевых траекторий и фронтов волн цунами, порожденных локализованным источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60.№8. С. 1439—1448.
  9. Доброхотов С.Ю., Носиков И.А., Толченников А.А. Принцип Мопертюи—Якоби и вариационный принцип Ферма в задаче о коротковолновой асимптотике решения уравнения Гельмгольца c локализованным источником // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2025. Т. 65. (в печати).
  10. Stoker J.J. Water Waves: The Mathematical Theory with Applications. New York: Wiley, 1958.
  11. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.
  12. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.
  13. Mei C.C. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. Singapore: World Sci., 1989.
  14. Назайкинский В.Е. Геометрия фазового пространства для волнового уравнения, вырождающегося на границе области // Матем. заметки. 2012. Т. 92.№1. С. 153—156.
  15. Назайкинский В.Е. Канонический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в фазовом пространстве, соответствующем вырождающемуся на границе волновому уравнению // Матем. заметки. 2014. Т. 96. №2. С. 261—276.
  16. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Простые асимптотики обобщенного волнового уравнения с вырождающейся скоростью и их приложения в линейной задаче о набеге длинных волн на берег // Матем. заметки. 2018. Т. 104.№4. С. 483—504.
  17. Dobrokhotov S.Yu., Minenkov D.S., Nazaikinskii V.E. Asymptotic solutions of the Cauchy problem for the nonlinear shallow water equations in a basin with a gently sloping beach // Russ. J. Math. Phys. 2022. V. 29.№1. P. 28—36.
  18. Доброхотов С.Ю., Калиниченко В.А., Миненков Д.С., Назайкинский В.Е. Асимптотики длинных стоячих волн в одномерных бассейнах с пологими берегами: теория и эксперимент // Прикл. матем. и механ. 2023. Т. 87. №2. С. 157—175.
  19. Carrier G.F., Greenspan H.P. Water waves of finite amplitude on a sloping beach // J. Fluid Mech. 1958. V. 4. P. 97—109.
  20. Беляев М.Ю., Десинов Л.В., Крикалев С.К., Кумакшев С.А., Секерж-Зенькович С.Я. Идентификация системы океанских волн по фотоснимкам из космоса // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2009. № 1. С. 117—127.
  21. Беляев М.Ю., Виноградов П.В., Десинов Л.В., Кумакшев С.А., Секерж-Зенькович С.Я. Идентификация по фотоснимкам из космоса источника океанских кольцевых волн вблизи острова Дарвин // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2011. С. 70—83.
  22. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.
  23. Доброхотов С.Ю., Миненков Д.С., Руло М. Принцип Мопертюи—Якоби для гамильтонианов вида f (x,|p|) в некоторых двумерных стационарных квазиклассических задачах // Матем. заметки. 2015. Т. 97. № 1. С. 48—57.
  24. Каток А.Б. Эргодические возмущения вырожденных интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37.№3. С. 539—576.
  25. Носиков И.А., Толченников А.А., Клименко М.В. Краевая задача о расчете лучевых характеристик океанических волн, отраженных от береговой линии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2024. Т. 64.№3. С. 534—546.
  26. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. 1969. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 7—252.
  27. Vukasinac T., Zhevandrov P. Geometric asymptotics for a degenerate hyperbolic equation // Russ. J. Math. Phys. 2002. V. 9.№3. P. 371—381.
  28. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Униформизация уравнений с граничным вырождением бесселева типа и квазиклассические асимптотики // Матем. заметки. 2020. Т. 107.№5. С. 780—786.
  29. Назайкинский В.Е. Об эллиптическом операторе, вырождающемся на границе области // Функц. анализ и его прил. 2022. Т. 56.№4. С. 109—112.
  30. Bolotin S.V., Treshev D.V. Another billiard problem // Russ. J. Math. Phys. 2024. V. 31.№1. P. 50—59.
  31. Dobrokhotov S.Yu., Makrakis G., Nazaikinskii V.E. Fourier integrals and a new representation of Maslov’s canonical operator near caustics // Am. Math. Soc. Transl. 2014. V. 233. P. 95—115. Am. Math. Soc., Providence, RI.
  32. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.
  33. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Носиков И.А. Либрации с большими периодами в туннелировании: эффективное вычисление и приложение к тригональным димерам // ТМФ. 2022. Т. 213.№1. С. 163—190.
  34. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
  35. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Цветкова А.В. Равномерная асимптотика в виде функции Эйри для квазиклассических связанных состояний в одномерных и радиально-симметричных задачах // ТМФ. 2019. Т. 201.№3. С. 382—414.
  36. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е. Лагранжевы многообразия и эффективные формулы для коротковолновых асимптотик в окрестности точки возврата каустики // Матем. заметки. 2020. Т. 108.№3. С. 334—359.
  37. Nazaikinskii V.E., Tolchennikov A.A. Constructive implementation of semiclassical asymptotic formulas in a neighborhood of a generic caustic cusp // Russ. J. Math. Phys. 2022. V. 29.№4. P. 545—554.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences